3.1.1方程的根与函数的零点   公开课教案

3.1.1方程的根与函数的零点   公开课教案

教学目标：

1、          能够结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数。

2、          理解函数的零点与方程的联系。

3、          渗透由特殊到一般的认识规律，提升学生的抽象和概括能力。

教学重点、难点：

1、          重点：理解函数的零点与方程根的联系，使学生遇到一元二次方程根的问题时能顺利联想函数的思想和方法。

2、          难点：函数零点存在的条件。

教学过程：

1、          问题引入

探究一元二次方程与相应二次函数的关系。

出示表格，引导学生填写表格，并分析填出的表格，从二次方程的根和二次函数的图像与x轴的交点的坐标，探究一元二次方程与相应二次函数的关系。

一元二次方程
 方程的根
 二次函数
 图像与x轴的交点
 
x2-2x-3=0
 x1=-1，x2=3
 y=x2-2x-3
 （-1，0），（3，0）
 
x2-2x+1=0
 x1= x2=1
 y=x2-2x+1
 （1，0）
 
x2-2x+3=0
 无实数根
 y=x2-2x+3
 无交点
 

 （图1-1）函数y=x2-2x-3的图像

 
（图1-2）函数y=x2-2x+1的图像

 （图1-3）函数y=x2-2x+3的图像

归纳：

（1）                   如果一元二次方程没有实数根，相应的二次函数图像与x轴没有交点；

（2）                   如果一元二次方程有实数根，相应的二次函数图像与x轴有交点。

反之，二次函数图像与x轴没有交点，相应的一元二次方程没有实数根；

二次函数图像与x轴有交点，则交点的横坐标就是相应一元二次方程的实数根。

2、          函数的零点

（1） 概念

对于函数y=f(x)(x∈d),把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈d)的零点。

（2） 意义

方程f(x)=0有实数根

                    函数y=f(x)的图像与x轴有交点

           函数y=f(x)有零点

（3） 求函数的零点

①  代数法：求方程f(x)=0的实数根

②  几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。

3、          函数零点的存在性

（1） 二次函数的零点

△=b2-4ac
 ax2+bx+c=0的实数根
 y=ax2+bx+c的零点数
 
△﹥0
 有两个不等的实数根x1、x2
 两个零点x1、 x2
 
△=0
 有两个相等的实数根x1= x2
 一个零点x1（或x2）