曲线的参数方程

曲线的参数方程

教学目标
   1、理解曲线参数方程的概念，能选取适当的参数建立参数方程；
   2、通过对圆和直线的参数方程的研究，了解某些参数的几何意义和物理意义；
   3、初步了解如何应用参数方程来解决某些具体问题，在问题解决的过程中，形成数学抽象思维能力，初步体验参数的基本思想。
教学重点
   曲线参数方程的概念。
教学难点
曲线参数方程的探求。
教学过程
  （一）曲线的参数方程概念的引入
 引例：
XX年5月1日，中国第一座身高108米的摩天轮，在上海锦江乐园正式对外运营。并以此高度跻身世界三大摩天轮之列，居亚洲第一。
   已知该摩天轮半径为51.5米，逆时针匀速旋转一周需时20分钟。如图所示，某游客现在 点（其中 点和转轴 的连线与水平面平行）。问：经过 秒，该游客的位置在何处?

引导学生建立平面直角坐标系，把实际问题抽象到数学问题，并加以解决
（1、通过生活中的实例，引发学生研究的兴趣；2、通过引例明确学习参数方程的现实意义；3、通过对问题的解决，使学生体会到仅仅运用一种方程来研究往往难以获得满意的结果，从而了解学习曲线的参数方程的必要性；4、通过具体的问题，让学生找到解决问题的途径，为研究圆的参数方程作准备。）
（二）曲线的参数方程
1、圆的参数方程的推导
（1）一般的，设⊙ 的圆心为原点，半径为 ， 所在直线为 轴，如图，以 为始边绕着点 按逆时针方向绕原点以匀角速度 作圆周运动，则质点 的坐标与时刻 的关系该如何建立呢？（其中 与 为常数， 为变数）
 结合图形，由任意角三角函数的定义可知：
   为参数         ①
（2）点 的角速度为 ，运动所用的时间为 ，则角位移 ，那么方程组①可以改写为何种形式？
 结合匀速圆周运动的物理意义可得：   为参数   ②
（在引例的基础上，把原先具体的数据一般化，为圆的参数方程概念的形成作准备，同时也培养了学生数学抽象思维能力）
（3）方程①、②是否是圆心在原点，半径为 的圆方程？为什么？
由上述推导过程可知：对于⊙ 上的每一个点 都存在变数 （或 ）的值，使 ， （或 ， ）都成立。
对于变数 （或 ）的每一个允许值，由方程组所确定的点 都在圆上；
   （1、对曲线的方程以及方程的曲线的定义进行必要的复习；2、学生从曲线的方程以及方程的曲线的定义出发，可以说明以上由变数 （或 ）建立起来的方程是圆的方程；）
（4）若要表示一个完整的圆，则 与 的最小的取值范围是什么呢？
    ，    
（5）圆的参数方程及参数的定义
     我们把方程①（或②）叫做⊙ 的参数方程，变数 （或 ）叫做参数。
（6）圆的参数方程的理解与认识
（ⅰ）参数方程 与 是否表示同一曲线？为什么？
（ⅱ）根据下列要求，分别写出圆心在原点、半径为 的圆的部分圆弧的参数方程：
①在 轴左侧的半圆（不包括 轴上的点）；
②在第四象限的圆弧。
（通过具体问题的解决，加深对圆的参数方程的理解与认识，体会到参数的取值范围也是圆的参数方程的重要组成部分；并为曲线的参数方程的定义及其理解与认识作铺垫。）